Question

log2 cos 20+log2 cos 40+log2 cos 60+log2 cos 80=?

Answer 1

Задача состоит в определении произведения
$\cos{20^\circ} \cos{40^\circ} \cos{60^\circ}\cos{80^\circ}$
Учтём, что $\cos{80^\circ} = \sin{10^\circ}$. Пусть произведение обозначено за $X$. Тогда имеем следующее:
$X = \sin {10^\circ}\cos{20^\circ} \cos{40^\circ} \cos{60^\circ}$
Умножим обе части на $\cos{10^\circ}$ и всё свернётся:
$X \cos{10^\circ} = \sin 10^{\circ} \cos{10^\circ} \cos{20^\circ} \cos{40^\circ} \cos{60^\circ} = \\ \\ = \dfrac{1}{2}\sin{20^\circ}\cos{20^\circ} \cos{40^\circ} \cos{60^\circ} = \dfrac{1}{4} \sin{40^\circ} \cos{40^\circ} \cos{60^\circ} = \\ \\ = \dfrac{1}{8}\sin{80^\circ} \cos{60^\circ} = \dfrac{1}{16} \sin{80^\circ} = \dfrac{1}{16} \cos {10^\circ}$

Отсюда $X = \dfrac{1}{16}$ и $\log_2{X} = -4.$
Ответ: $-4$