Предмет: Алгебра,
автор: km2112
log2 cos 20+log2 cos 40+log2 cos 60+log2 cos 80=?
Ответы
Автор ответа:
6
Задача состоит в определении произведения
![\cos{20^\circ} \cos{40^\circ} \cos{60^\circ}\cos{80^\circ} \cos{20^\circ} \cos{40^\circ} \cos{60^\circ}\cos{80^\circ}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ccos%7B20%5E%5Ccirc%7D+%5Ccos%7B40%5E%5Ccirc%7D+%5Ccos%7B60%5E%5Ccirc%7D%5Ccos%7B80%5E%5Ccirc%7D)
Учтём, что
. Пусть произведение обозначено за
. Тогда имеем следующее:
![X = \sin {10^\circ}\cos{20^\circ} \cos{40^\circ} \cos{60^\circ} X = \sin {10^\circ}\cos{20^\circ} \cos{40^\circ} \cos{60^\circ}](https://tex.z-dn.net/?f=X+%3D+%5Csin+%7B10%5E%5Ccirc%7D%5Ccos%7B20%5E%5Ccirc%7D+%5Ccos%7B40%5E%5Ccirc%7D+%5Ccos%7B60%5E%5Ccirc%7D)
Умножим обе части на
и всё свернётся:
![X \cos{10^\circ} = \sin 10^{\circ} \cos{10^\circ} \cos{20^\circ} \cos{40^\circ} \cos{60^\circ} = \\ \\ = \dfrac{1}{2}\sin{20^\circ}\cos{20^\circ} \cos{40^\circ} \cos{60^\circ} = \dfrac{1}{4} \sin{40^\circ} \cos{40^\circ} \cos{60^\circ} = \\ \\ = \dfrac{1}{8}\sin{80^\circ} \cos{60^\circ} = \dfrac{1}{16} \sin{80^\circ} = \dfrac{1}{16} \cos {10^\circ} X \cos{10^\circ} = \sin 10^{\circ} \cos{10^\circ} \cos{20^\circ} \cos{40^\circ} \cos{60^\circ} = \\ \\ = \dfrac{1}{2}\sin{20^\circ}\cos{20^\circ} \cos{40^\circ} \cos{60^\circ} = \dfrac{1}{4} \sin{40^\circ} \cos{40^\circ} \cos{60^\circ} = \\ \\ = \dfrac{1}{8}\sin{80^\circ} \cos{60^\circ} = \dfrac{1}{16} \sin{80^\circ} = \dfrac{1}{16} \cos {10^\circ}](https://tex.z-dn.net/?f=X+%5Ccos%7B10%5E%5Ccirc%7D+%3D+%5Csin+10%5E%7B%5Ccirc%7D+%5Ccos%7B10%5E%5Ccirc%7D+%5Ccos%7B20%5E%5Ccirc%7D+%5Ccos%7B40%5E%5Ccirc%7D+%5Ccos%7B60%5E%5Ccirc%7D+%3D+%5C%5C+%5C%5C+%3D+%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csin%7B20%5E%5Ccirc%7D%5Ccos%7B20%5E%5Ccirc%7D+%5Ccos%7B40%5E%5Ccirc%7D+%5Ccos%7B60%5E%5Ccirc%7D+%3D+%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7D+%5Csin%7B40%5E%5Ccirc%7D+%5Ccos%7B40%5E%5Ccirc%7D+%5Ccos%7B60%5E%5Ccirc%7D+%3D+%5C%5C+%5C%5C+%3D+%5Cdfrac%7B1%7D%7B8%7D%5Csin%7B80%5E%5Ccirc%7D+%5Ccos%7B60%5E%5Ccirc%7D+%3D+%5Cdfrac%7B1%7D%7B16%7D+%5Csin%7B80%5E%5Ccirc%7D+%3D+%5Cdfrac%7B1%7D%7B16%7D+%5Ccos+%7B10%5E%5Ccirc%7D)
Отсюда
и ![\log_2{X} = -4. \log_2{X} = -4.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clog_2%7BX%7D+%3D+-4.)
Ответ:![-4 -4](https://tex.z-dn.net/?f=-4)
Учтём, что
Умножим обе части на
Отсюда
Ответ:
Похожие вопросы
Предмет: Математика,
автор: Pervane3
Предмет: Русский язык,
автор: anastasia5593
Предмет: Русский язык,
автор: Гадзила22
Предмет: Другие предметы,
автор: mashanutha
Предмет: Алгебра,
автор: sashapichugina