Question

Найдите сумму четырех первых геометрических прогрессии (bn), если 1) b4=125, q=2,5. 2) b1=25 корень из 5, q<0 3) b4=10, b7=10000

Answer 1

Ответ:

Если последовательность (bₓ) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения x справедлива зависимость: bₓ₊₁=bₓ⋅q.

Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить, используя формулу: bₓ₊₁=b₁ ⋅ qˣ⁻¹.

Сумму первых x членов геометрической прогрессии Sₓ можно найти по 1-формуле

$\displaystyle \tt S_x=\frac{b_1 \cdot (q^x-1)}{q-1}$

или по 2-формуле

$\displaystyle \tt S_x=\frac{b_x \cdot q-b_1}{q-1}.$

Решение.

1) b₄ = 125, q = 2,5. Так как b₄ = b₁ ⋅ q⁴⁻¹ = b₁ ⋅ q³, то находим

b₁ = b₄/q³ = 125/2,5³ = 125/15,625 = 8.

Теперь применим 2-формулу:

$\displaystyle \tt S_4=\frac{b_4 \cdot q-b_1}{q-1} = \frac{125 \cdot 2,5-8}{2,5-1} = \frac{312,5 -8}{1,5} = \frac{304,5}{1,5} = 203.$

2) b1=25·√5, q<0. Применим 1-формулу:

$\displaystyle \tt S_4=\frac{b_1 \cdot (q^4-1)}{q-1}=\frac{25 \cdot \sqrt{5} \cdot (q-1) \cdot (q^3+q^2+q+1)}{q-1}= \\\\=25 \cdot \sqrt{5} \cdot (q^3+q^2+q+1).$

3) b₄ = 10, b₇ = 10000. Так как b₇ = b₆ ⋅ q = b₅ ⋅ q² = b₄ ⋅ q³, то

q³ = b₇/b₄ = 10000/10 = 1000 или q = 10. Теперь находим b₁ :

b₁ = b₄/q³ = 10/10³ = 10/1000 = 1/100.

Теперь применим 2-формулу:

$\displaystyle \tt S_4=\frac{b_4 \cdot q-b_1}{q-1} = \frac{10 \cdot 10-\dfrac{1}{100} }{10-1} = \frac{10000 -1}{9 \cdot 100} = \frac{9999}{9 \cdot 100} =\frac{1111}{ 100} = 11,11.$