Question

Вася получил на дом пример: вычислить 1•2+2•3+3•4+...+99•100.Потратив все ночь,Вася вычислил и получил 20122013. Докажите,что он не ошибся

Answer 1

Докажем по индукции, что $S_n=1\cdot2+2\cdot 3+\ldots+(n-1)n=(n-1)n(n+1)/3$. Для  $S_1$ это верно. Предположим, что это верно для n.
Тогда
$S_{n+1}=S_n+n(n+1)=(n-1)n(n+1)/3+n(n+1)= \\ =n(n+1)((n-1)/3+1)=n(n+1)(n+2)/3$.
Получаем как раз то, что должно было получиться при подстановке n+1 вместо n в самой первой формуле. Значит она верна.
Таким образом $S_{100}=99\cdot100\cdot101/3=333300$. А значит Вася ошибся. Правильный ответ в этой сумме 333300.