Question

сумма трех чисел составляющих возрастающую арифметическую прогрессию,равна 30.Если от первого числа отнять 5,от второго 4,а третье число оставить без изменений ,то полученные числа составят геометрическую прогрессию.Найти эти числа

Answer 1

1. Имеем арифметическую прогрессию: 
а₁, а₂, а₃, где а₂ =а₁ + д; или а₁ = а₂ - д;(1)  а₃ = а₂ + д;(2)
по условию:  а₁+ а₂ + а₃ = 30 (3), но сумма трех членов равна также: (а₁ + а₃)·3:2 = 30, ⇒ а₁ + а₃ = 20 (4). Сравнивая (3) и (4)  (или вычитая из (3) (4)), получим: а₂ =10;
2. По условию: (а₁ - 5); (а₂ - 4); а₃  - геометрическая прогрессия.
Исходя из ее свойств (а₂ - 4)/(а₁ -  5) = а₃/(а₂ - 4) или, т.к. а₂ =10 и ⇒ а₂ - 4 = 6;   6/(а₁ - 5) = а₃/6 (5).
Преобразуем (5) и выразим а₁ и а₃ через а₂: пригодятся выражения  (1) и (2).
а₃·(а₁ - 5) = 36 ; (а₂+д)·(а₂ -д -5) =36, Вставив а₂ = 10, получим: (10+д)·(10 - д - 5) =36; (10+д)·(5 - д) = 36;
50 + 5д -10д - д² = 36; д² + 5д - 14 = 0;
д₁ = (-5 + √(25+56):2 = (-5+9):2 = 2
(т.к. по условию прогрессия возрастающая, отрицательный д₂ на берем)
тогда а₁ = а₂ - д = 10 - 2 = 8; а₃ = а₂ +д =10 + 2 = 12;
Прогрессия наша: 8, 10, 12
Проверка: (а₂-4)/(а₁-5) = 12/(а₂-4) = 6:3=12:6, и новая прогрессия (3,6,12) геометрическая.