Question

Докажите, что для любого натурального значения n выпол­няется равенство
$(1- \frac{1}{4} )(1- \frac{1}{9} )(1- \frac{1}{16} )*...*(1- \frac{1}{(n+1)^2} )= \frac{n+2}{2n+2}$

Answer 1

 $(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{9})*... * (1-\frac{1}{(n+1)^2} ) = \\ \frac{3}{4 } * \frac{8}{9} *\frac{15}{16} * \frac{24}{25}*...*(\frac{ n^2+2n}{n^2+2n+1})$  
  
 Докажем математической индукцией ,    если при $n$ оно верно ,то и  $n+1$  так же  должно выполнятся 
  значит $\frac{n+2}{2n+2}*(1-\frac{1}{(n+2)^2})$  должно быть равно 
 $\frac{n+3}{2(n+1)+2} = \frac{n+3}{2n+4}$ 
 
 $\frac{n+2}{2n+2}*(1-\frac{1}{(n+2)^2} ) = \frac{n+2}{2n+2} * \frac{n^2+4n+3}{n^2+4n+4} = \\ \frac{n+2}{2n+2}*\frac{n+1}{n+2}*\frac{n+3}{n+2} = \frac{n+3}{2(n+2)}=\frac{n+3}{ 2n+4 }$ 
 Значит утверждение верное