Question

Найти сумму корней уравнения.
x^2 + x + x^-1 + x^-2 = 4

Answer 1

$x^2+x+x^{-1}+x^{-2}=4$
$x \neq 0$
ведем замену
$x+x^{-1}=t$
тогда
$(x+x^{-1})^2=t^2$
$x^2+2x*x^{-1}+x^{-2}=t^2$
$x^2+x^{-2}=t^2-2$
уравнение перепишется в виде
$t^2-2+t=4$
$t^2+t-6=0$
$(t+3)(t-2)=0$
$t+3=0;t_1=-3$
$t-2=0;t_2=2$
первый случай
$x+x^{-1}=-3$
$x^2+3x+1=0$
$D=3^2-4*1=9-4=5$
$x_1=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
$x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$
второй случай
$x+x^{-1}=2$
$x^2-2x+1=0$
$(x-1)^2=0$
$x_{3,4}=1$
$x_1+x_2+x_3+x_4=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}+\frac{-3+\sqrt{5}}{2}+1+1=-3+2=-1$
ответ: -1

второй вариант решения
Перепишем уравнение в виде уравнения четвертой степени
$x^4+x^3-2x^2+x+1=0$
по обобщенной теореме Виета
$x_1+x_2+x_3+x_4=-1$
ответ: -1