Question

2)Дано уравнение (1-cos2x-sinx)/(cosx-1)=0.
а)Решите уравнение.
б)Укажите его корни, принадлежащие интервалу (5π/2;5π).

Answer 1

a)
$\frac{1-cos(2x)-sinx}{cosx-1} =0 \\ \\ \left \{ {{1-cos(2x)-sinx=0} \atop {cosx-1 \neq 0}} \right.$
Числитель
1 - cos(2x) - sin x=0
1 - (1 - 2sin²x) - sin x = 0
2 sin²x - sin x = 0    ⇔     sin x (2 sin x - 1) = 0
1) 2 sin x - 1 = 0    ⇔    sin x = 1/2    ⇒   
    x₁ = π/6 + 2πk;    x₂ = 5π/6 + 2πm
2) sin x = 0   ⇒    x₃ = πn
Знаменатель
cos x - 1 ≠ 0    ⇔   cos x ≠ 1
x ≠ 2πs,  s∈Z    ⇒   для x₃ = πn нужно отбросить корни при чётном n
Корни уравнения
x₁ = π/6 + 2πk;  x₂ = 5π/6 + 2πm;  x₃ = π + 2πn;   k,m,n∈Z

b)  Отобрать корни из интервала  
(5π/2; 5π) - границы в интервал не входят
(5π/2; 5π)   ⇔   (2π + π/2;  4π + π)
x₁ = π/6 + 2πk; попадает в интервал при k=2; 
     x₁₂ = π/6 + 4π;
x₂ = 5π/6 + 2πm;  попадает в интервал дважды - при m=1; m=2
     x₂₁ = 5π/6 + 2π;     x₂₂ = 5π/6 + 4π;
x₃ = π + 2πn;     попадает в интервал при n=1
     x₃₁ = π + 2π;
Ответ: в интервале  4 корня:
             π/6+4π;    5π/6 + 2π;     5π/6 + 4π;    π + 2π;