Question

Все стороны трапеции выражаются целыми числами, одна из её диагоналей равна 12. Найдите боковые стороны и площадь трапеции, если её основания равны 8 и 18.

Answer 1

 
 Пусть наша трапеция  $ABCD$ , боковые стороны которые $AB;CD$ , обозначим их как соответственно  $n,m$ , пусть     $x;y$ отрезки другой диагонали , и пусть $u;v$ отрезки диагонали $12$ ,из  подобия треугольников  $BOC;AOD$ $O$ пересечения диагоналей , получим 
 $\frac{u}{v}=\frac{8}{18}\\ \frac{u}{12-u}=\frac{4}{9} \\ u=\frac{48}{13}\\ v=\frac{108}{13}$ 
По неравенству треугольников  $x+\frac{48}{13}>8\\ x+8>\frac{48}{13}\\ 8+\frac{48}{13}>x$ получим что $x \in [5;11]$ 
 а для  $AOB$ $n \in [5;8]$ , то есть всего 4 значения 
  но для $n=5;6$ не подходит так как  
 $x^2+\frac{48}{13}^2-2*x*\frac{48}{13}*cosBOC=8^2\\ x^2+\frac{108}{13}^2-2*x*\frac{108}{13}*-cosBOC=n^2$  
 когда    $n=5;6$  $x<0$   что не подходит , тогда 
 $n=7;8$ , проверим оба , при   $n=7$  , другая часть диагонали  не будет входит в отрезок , по тем же самым причинами что сказано вверху, только для  треугольников  $COD;AOD$, подходит  $n=8$ при этом  $m=12$ что верно по неравенству треугольников  
 
 Найдем площадь трапеций  , опустим высоты , и обозначим проекций высота $x;y$  , по теореме Пифагора 
 $\sqrt{12^2-x^2}=\sqrt{8^2-y^2}\\ x+y=10\\\\ x=1\\ y=9$ 
  Высота трапеций равна $h=\sqrt{144-81}=\sqrt{63}\\ S=\frac{8+18}{2}*\sqrt{63} = 13\sqrt{63}$ 
 
  
 Боковые стороны равны $8;12$ 
 Площадь трапеций равна $13\sqrt{63}$