Question

Ребяяяяяяяяяяяяят, помогите пожалуйста, срочно, нужно найти неопределенный интеграл!
$\int\limits1/(sinx-cosx), dx$

Answer 1

Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:
$sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\dx=\frac{2dt}{1+t^2}$
Где t=tg(x/2)

$\int\frac{1}{sinx-cosx}dx=\int\frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}}*\frac{2dt}{1+t^2}=\int\frac{1+t^2}{2t-1+t^2}*\frac{2dt}{1+t^2}=2\int\frac{dt}{t^2+2t-1}=\\=2\int\frac{dt}{(t^2+2t+1)-2}=-2\int\frac{d(t+1)}{(\sqrt{2})^2-(t+1)^2}=-2*\frac{1}{2*\sqrt{2}}ln|\frac{\sqrt{2}+(t+1)}{\sqrt{2}-(t+1)}|+C=\\=-\frac{\sqrt{2}}{2}ln|\frac{\sqrt{2}+1+tg\frac{x}{2}}{\sqrt{2}-1-tg\frac{x}{2}}|+C$