Question

1. Дана функция f(x)=x^3-3x^2+1. Найдите:
а) промежутки возрастания и убывания функции;
б) наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2; 1].
2. Напишите уранение к касательной к графику функции f(x)=x^3-3x^2+2x+4 в точке с абциссой x0=1.

Answer 1

1) Задание

Дана функция $\displaystyle y=x^3-3x^2+1$

найти промежутки возрастания и убывания

По признаку возрастания и убывания функции на интервале:
если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;
 если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Найдем производную данной функции

$\displaystyle y`(x)=(x^3-3x^2+1)`=3x^2-6x$

найдем точки экстремума, точки в которых производная равна нулю

$\displaystyle y`(x)=0\\ 3x^2-6x=0\\3x(x-2)=0\\x_1=0; x_2=2$

отметим точки на числовой прямой и проверим знак производной на промежутках

___+____-______+__
         0             2

Значит на промежутках (-оо;0) ∪ (2;+оо) функция возрастает
на промежутке (0;2) функция убывает

точки х=0 точка минимума, х=2 точка максимума

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2; 1].

Заметим, что х=2 точка максимума не входит в данный промежуток,
а х=0 принадлежит данному промежутку

Проверим значение функции в точке х=0 и на концах отрезка

$\displaystyle y(0)=0-0+1=1\\y(-2)=-8-12+1=-19\\y(1)=1-3+1=-1$

Значит наибольшее значение функции на отрезке  [-2;1]
в точке х=0 и у(0)=1

значит наименьшее значение функции на отрезке [-2;1]
в точке х=-2 и у(-2)= -19


2. Напишите уравнение к касательной к графику функции
f(x)=x^3-3x^2+2x+4 в точке с абсциссой x0=1.

Уравнение касательной имеет вид

$\displaystyle y_{kac}=y(x_0)+y`(x_0)(x-x_0)$

найдем производную данной функции

$\displaystyle y`(x)=(x^3-3x^2+2x+4)`=3x^2-6x+2$

найдем значение функции и производной в точке х=1

$\displaystyle y(1)=1-3+2+4=4\\y`(1)=3-6+2=-1$

подставим значения в уравнение касательной

$\displaystyle y_{kac}=4-1(x-1)=4-x+1=5-x$