Question

В геометрической прогрессии пять членов, сумма их без первого члена равна 30, а без последнего члена равна 15. Найдите третий член прогрессии. ( Заранее
спасибо)

Answer 1

$b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\ b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4\ b_5;\\ S_{2..5}=30;\\ S_{1..4}=15;\\ S_{2..5}=S_5-b_1=b_1\frac{q^5-1}{q-1}-b_1=b_1\left(\frac{q^5-1-1+1}{q-1}\right)=\\ =b_1\frac{q^5-q}{q-1}=\frac{q(q^4-1)}{q-1}=b_1\cdot q\cdot\frac{(q-1)\cdot(q^3+q^2+q+1)}{q-1}=\\ b_1q(q^3+q^2+q+1)=30;\\ S_{1..4}=S_4=b_1\frac{q^4-1}{q-1}=b_1\frac{(q-1)(q^3+q^2+q+1)}{q-1}=\\ =b_1(q^3+q^2+q+1)=15;$
$\left \{ {{S{2..5}=q\cdot S4=30} \atop {S_{1..4}=S_4=15}} \right. \left \{ {{b_1(q^3+q^2+q+1)=30} \atop {b_1(q^3+q^2+q+1)=15}} \right. \\ q=\frac{S_{2..5}}{S_{1..4}}=\frac{qS_4}{S_4}=\frac{30}{15}=2;\\ q=2;\\ S_4=b_1(q^3+q^2+q+1)=15;\\ b_1(2^3+2^2+2^1+1)=15;\\ b_1(8+4+2+1)=15;\\ b_1\cdot15=15;\\ b_1=\frac{15}{15}=1;\\ S_4=1\cdot{2^4-1}{2-1}=1\cdot\frac{16-1}{1}=1\cdot15=15;\\ S_{2..5}=S_5-b_1=1\cdot\frac{2^5-1}{2-1}-1=1\cdot\frac{32-1}{2-1}-1=1\cdot31-1=31-1=30;$
$b_3=b_1\cdotq^{3-1}=b_1\cdot q^2=1\cdot2^2=1\cdot4=4;\\ b_3=4.$