Question

Решите уравнение:
а) √3/2cos x-1/2 sin x=1
б)√3 cos x-sin x=1
Докажите тождество:
sin(30-a)-cos(60-a)=-√3sina

Answer 1

Нужно знать:

1) формулы сложения: sin(α ± β) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ;

                                        cos(α + β) = cosα · cosβ - sinα · sinβ;

                                        cos(α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ;

2) sin30° = 1/2; cos30° = √3/2; sin60° = √3/2; cos60° = 1/2;

3) формулы для решения простейших тригонометрических уравнений:

   sinx = a, x = (-1)ⁿ · arcsina + πn, n ∈ Z;    cosx = a, x = ±arccosa + 2πn, n ∈ Z;

4) частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений:

  sinx = 1, х = π/2 + 2πn, n ∈ Z;        cosx = 1, x = 2πn, n ∈ Z;

  sinx = 0, x = πn, n ∈ Z;      cosx = 0, x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.

Поэтому:

а) √3/2cos x - 1/2 sin x = 1,

   cos(π/6) · cosx - sin(π/6) · sinx = 1,

   cos(x + π/6) = 1,

   x + π/6 = 2πn, n ∈ Z,

   x = -π/6 + 2πn, n ∈ Z;

б) √3cosx - sin x = 1,

    2(√3/2 · cosx - 1/2 · sinx) = 1,

    2(cos(π/6) · cosx - sin(π/6) · sinx) = 1,

    cos(x + π/6) = 1/2,

    x + π/6 = ±π/3 + 2πn, , n ∈ Z,

    x = -π/6 ± π/3 + 2πn, n ∈ Z

или х = -π/6 + π/3 + 2πn = π/6 + 2πn, n ∈ Z

       и x = -π/6 - π/3 +2πn = -π/2 + 2πn, n ∈ Z.

в) sin(30° - α) - cos(60° - α) = -√3sinα,

    sin(30° - α) - cos(60° - α) = sin30° · cosα - cos30° · sinα - cos60° · cosα -

    - sin60° · sinα =  1/2 · cosα - √3/2 · sinα - 1/2 · cosα - √3/2 · sinα =

    = -√3sinα, т.е. -√3sinα = -√3sinα. Доказано.