Question

Помогите пожалуйста
2. Вычислить интеграл методом подстановки
5. Вычислить интеграл от следующей функции

Answer 1

2.28
$\int{\frac{\sqrt{3x}dx}{\sqrt{3x}-1}}=\\ \|\sqrt{3x}=t;\ \ 3x=t^2;\ x=\frac{t^2}{3}\ ==>dx=d\left(\frac{t^2}{3}\right=\frac{2tdt}{3})\|\\ =\int{\frac{t\frac{2tdt}{3}}{t-1}}=\frac23\int{\frac{t^2}{t-1}}dt=\frac23\int{\frac{t^2-1+1}{t-1}}dt=\\ \frac23\int{\frac{(t-1)(t+1)+1}{t-1}}dt=\frac23\int{(t+1+\frac1{t-1})}dt=\\ =\frac23\left(\int t^1dt+\int t^0dt+\int{\frac{d(t-1)}{t-1}}\right)=\\ =\frac23\cdot\left(\frac1{1+1}\cdot t^{1+1}+\frac{1}{0+1}\cdot t^{0+1}+\ln|t-1|\right)+C=|\ C-const;$
$=\frac23\left(\frac12t^2+t+\ln|t-1|\right)+C=\\ \|t=\sqrt{3x}\|;\\ =\frac23\left(\frac12\cdot3x+\sqrt{3x}+\ln|\sqrt{3x}-1|\right)+C=\\ =\frac23\cdot\frac32\cdot x+\frac23\cdot\sqrt3\cdot\sqrt{x}+\frac23\ln|\sqrt{3x}-1|+C=\\ =x+\frac{2}{\sqrt3}\sqrt{x}+\frac23\ln|\sqrt{3x}-1|+C=x+\frac{2\sqrt3}{3}\sqrt{x}+\frac23\ln|\sqrt{3x}-1|+C.$

5.28
$\int{\frac{\sqrt{1-9x^2}dx}{x}}=\int{\frac{\sqrt{1-3^2x^2}dx}{x}}=\int{\frac{\sqrt{1-(3x)^2}dx}{x}}=\\ \|3x=t==>x=\frac t3;\ dx=d\frac t3=\frac13dt\|\\ =\int{\frac{\sqrt{1-t^2}dt}{3\cdrot\frac t3}}=\int{\frac{\sqrt{1-t^2}dt}{t}}=\\ \|D(f):1-t^2\geq0;\ \ t^2\leq1;\ \ |t|\leq1;==>-1\leq t\leq1\|\\ \|t=\sin\phi,\ 1-t^2=1-\sin^2\phi=\cos^2\phi\geq0\ \ \sqrt{1-t^2}=|\cos\phi|\|\\ \|dt=d\sin\phi=\cos\phi d\phi\|\\ =\int{\frac{\cos\phi\cdot\cos\phi d\phi}{sin\phi}}=\int{\frac{\cos^2\phi}{\sin\phi}}d\phi=$
$\int{\frac{1-\sin^2\phi}{\sin\phi}}d\phi=\int{\left(\frac1{\sin\phi}-\sin\phi}\right)d\phi$