Question

Укажите количество целых уравнений неравенства
$log_{12}(x-6)+log_{12}(x-7) \leq 1$

Answer 1

$log_{12}(x-6) + log_{12}(x-7) \leq 1$
ОДЗ;   х > 6 и х > 7   =>   x > 7

$log_{12}((x-6)(x-7)) \leq log_{12}12 \\ (x-6)(x-7) \leq 12 \\ x^{2} - 13x + 43 - 12 \leq 0 \\ x^{2} - 13x + 31\leq 0 \\ D = 169 - 4*31 = 169 - 124 = 45 \\ \sqrt{D} = 3 \sqrt{5} \\ x_{1} = \frac{13 + 3 \sqrt{5} }{2} \\ x_{2} = \frac{13 - 3 \sqrt{5} }{2}$
Значит решение неравенства:  
$( 7 ; \frac{13 + 3 \sqrt{5} }{2} ] \\ 6< 3 \sqrt{5} < 7 \\ 13+6< 13+3 \sqrt{5} < 13+7 \\ 19< 13+3 \sqrt{5} < 20$

Тогда целые решения:  8 ; 9 ; ..... 19
Всего целых решений  12

ОТВЕТ:  12