Question

На отрезке [0;a] найти точку х0, чтобы касательная к у=f(x) в точке с абсциссой х0 вместе с осями координат создавала треугольник минимальной площади
$f(x)=-x^2+6x-9$ , х0 Є [0;3]

Answer 1

уравнение касательной к  f(x)=-x²+6x-9   [т.е. f(x)=-(x-3)² ]    в точке  с абсциссой x₀ ,                y- f(x₀)=f'(x₀)(x-x) (x₀-3)², где  f(x₀)=-(x₀-3)²     и       f'(x₀)= -2(x₀-3)
                     y+(x₀-3)² = -2(x₀-3)(x-x₀),
y=0==> (x₀-3)² =2x₀(x₀-3)-2x(x₀-3)  ==>  x=(3+x₀)/2        A((3+x₀)/2;0)
 где   3-x₀  ≥ 0   и    9-x₀²≥ 0 ,    т.к. x₀ Є [0;3]
x=0==>y+(x₀-3)²=2x₀(x₀ -3)==> y=2x₀(x₀ -3)-(x₀ - 3)² =x₀²- 9 ,  где x₀²-9≤0
                                                                                    B(0;x₀²- 9)
S = 1/2*(3+x₀)/2*(9-x₀²) = 1/4*(3+x₀)*(9-x₀²)
остается найти минимум этой функции