Question

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Известно,что AC=4, BD=5 и уголCAD=2углаBDA. Найдите длину средней линии трапеции.

Answer 1

В трапеции АВСD  диагональ ВD=5, АС=4, угол САD=2 ВDА. 
Из А проведем прямую АК  параллельно диагонали ВD до пересечения с продолжением ВС в точке К. 
Четырехугольник АВDА - параллелограмм, т.к. сторона АК равна и параллельна ВD, КВ|| АD.  
КВ=АD 
∠ СКА=∠ ВDА как противоположные углы параллелограмма. 
В треугольнике КСА угол КСА равен углу САD как накрестлежащие при параллельных КС и АD и секущей АС. ( Равные углы на рисунке обозначены одинаковыми цифрами). 
Из угла ВСА проведем биссектрису ВМ.
Тогда ∠ КСМ=∠ СКМ, т.к. ∠ ВСА=2 ∠ ВDА. 
Треугольник КСМ - равнобедренный. 
∠ СМА - внешний при вершине М и равен сумме равных углов при стороне КС, следовательно. он равен углу КСА. 
Треугольники КСА и СМА подобны по двум углам: 
∠СКА=∠МСА,  ∠КСА=∠СМА ⇒
 АК:АС=АС:АМ 
5 АМ=16 
АМ=3,2 
СМ=КМ=5-3,2=1,8
По теореме косинусов найдем косинус∠ СМА ( для удобства обозначим его α 
СА²=СМ²+АМ²-2*СМ*АМ*cos α 
16=3,24+10,24-2*1,8*3,24 *cos α 
16-13,48= - 11,52 cos α 
2,52= -11,52 cos α 
cos ∠ СМА=cos α= - 0,21875   
Косинусы смежных углов равны по величине, но имеют противоположные знаки.
В Δ КМС  cos  угла КМС, смежного с углом СМА , равен 0,21875 
КС равна КВ+ВС= сумме оснований трапеции. 
Найдем КС по т. косинусов. 
КС²=КМ²+СМ² -2 КМ*СМ*cos∠КМС 
КС²=3,.24+3,24-2*3,24*0,21875 
КС²=5,0625 
КС=2,25 
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Сумма оснований равна КС=2,25 
Ср.лин. =2,25:2=1,125