Question

Решите уравнение:
-5sin 2x - 16(sinx-cosx) + 8 = 0

Answer 1

$-5\sin2x-16(\sin x-\cos x)+8=0$

$-5\cdot 2\sin x\cos x-16(\sin x-\cos x)+8(\sin^2x+\cos^2x)=0 \\ -10\sin x\cos x-16(\sin x-\cos x)+8\sin ^2x+8\cos^2x=0 \\ 6\sin x\cos x-16(\sin x-\cos x)+8\sin^2x-16\sin x\cos x+8\cos^2x=0 \\ 6\sin x\cos x-16(\sin x-\cos x)+8(\sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x)=0 \\ 6\sin x\cos x-16(\sin x-\cos x)+8(\sin x-\cos x)^2$
Пусть $\sin x-\cos x=t$ (|t|≤√2). Левую и праву часть выражения возведем до квадрата: $(\sin x-\cos x)^2=t^2 \\ \sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x=t^2 \\ 1-2\sin x\cos x=t^2 \\ 2\sin x\cos x=1-t^2$
Заменяем
$3(1-t^2)-16t+8t^2=0 \\ 3-3t^2-16t+8t^2=0 \\ 5t^2-16t+3=0$
Решаем через дискриминант
$D=b^2-4ac=256-60=196$
$t_1= \frac{16+14}{10} =3$ - не удовлетворяет условие при |t|≤√2
$t_2= \frac{16-14}{10} = \frac{1}{5}$
Возвращаемся к замене
$\sin x-\cos x=\frac{1}{5}$

Есть одно возможность:
$a \sin x\pm b\cos x= \sqrt{a^2+b^2}\sin (x\pm \arcsin \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} } )$
Тоесть: $\sin x-\cos x= \sqrt{2} \sin (x- \frac{\pi}{4} ) =\frac{1}{5}\\ \sin (x- \frac{\pi}{4} )= \frac{ \sqrt{2} }{5} \\ x- \frac{\pi}{4} =(-1)^k\cdot \arcsin \frac{ \sqrt{2} }{5} + \pi k,k \in Z \\ x=(-1)^k\cdot \arcsin \frac{ \sqrt{2} }{5}+ \frac{\pi}{4} + \pi k,k \in Z$

Ответ: $(-1)^k\cdot \arcsin \frac{ \sqrt{2} }{5}+ \frac{\pi}{4} + \pi k$