Question

22 балла!!!Сумма корней уравнения 2cosx*cos2x+cosx=2cos2x+1 принадлежащих промежутку(-3pi;3pi) равна:

Answer 1

$(2cosx*cos2x-2cos2x)+(cosx-1)=0$ - сгруппировали
$2cos2x*(cosx-1)+(cosx-1)=0$
$(2cos2x+1)*(cosx-1)=0$ - вынесли общий множитель за скобки

1) $2cos2x=-1$
$cos2x=-0.5$
$2x= +-\frac{2\pi }{3}+2 \pi k$
$x= +-\frac{\pi }{3}+\pi k$, k∈Z

2) $cosx=1$
$x=2 \pi k$, k∈Z

Сделаем выборку корней:
1) $-3 \pi <2 \pi k<3 \pi$
$-1.5<k<1.5$
$k=-1,0,1$
$x_{1}=-2 \pi$
$x_{2}=0$
$x_{3}=2 \pi$
$x_{1}+x_{2}+x_{2}=2 \pi +0-2 \pi =0$

2) $-3 \pi <\frac{\pi }{3}+\pi k<3 \pi$
$-3-\frac{1}{3}<k<3-\frac{1}{3}$
$-\frac{10}{3}<k<\frac{8}{3}$
$k=-3,-2,-1,0,1,2$
При k=-2, -1, 1, 2 корни в сумме дадут 0.
k=0, $x_{4}=\frac{\pi }{3}$
k=-3, $x_{5}=\frac{\pi }{3}-3 \pi=-\frac{8\pi }{3}$

3) $-3 \pi <-\frac{\pi }{3}+\pi k<3 \pi$
$-3+\frac{1}{3}<k<3+\frac{1}{3}$
$-\frac{8}{3}<k<\frac{10}{3}$
$k=-2,-1,0,1,2,3$
При k=-2, -1, 1, 2 корни в сумме дадут 0.
k=0, $x_{6}=-\frac{\pi }{3}$
k=3, $x_{7}=-\frac{\pi }{3}+3 \pi=\frac{8\pi }{3}$

$x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}=\frac{\pi }{3}-\frac{8\pi }{3}-\frac{\pi }{3}+\frac{8\pi }{3}=0$

Ответ: сумма корней из указанного промежутка равна 0