Question

найти неопределенный интеграл.правильность полученных результатов проверить дифференцированием интеграл (x+12)dx/x^2-x-6 пожалуйста помогите решить подробно)

Answer 1

$\int \frac{x+12}{x^2-x-6}dx=\int \frac{(x-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}+12}{(x-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}}dx=[\, t=x-\frac{1}{2},\; dt=dx\, ]=\int \frac{t+\frac{25}{2}}{t^2-\frac{25}{4}}dt=\\\\=\frac{1}{2}\int \frac{2t\, dt}{t^2-\frac{25}{4}}+\frac{25}{2}\int \frac{dt}{t^2-\frac{25}{4}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(t^2-\frac{25}{4})}{t^2-\frac{25}{4}}+\frac{25}{2}\cdot \frac{1}{2\cdot \frac{5}{2}}ln|\frac{t-\frac{5}{2}}{t+\frac{5}{2}}|=\\\\=\frac{1}{2}\cdot ln|t^2-\frac{25}{4}|+$

$+\frac{5}{2}ln|\frac{x-\frac{1}{2}-\frac{5}{2}}{x-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}|+C=\frac{1}{2}ln|x^2-x-6|+\frac{5}{2}\cdot ln|\frac{x-3}{x+2}|+C$