Question

В выпуклом четырёхугольнике ABCD на сторонах AD и CD взяты точки М и N, такие, что каждая из прямых СМ и AN делит ABCD на две фигуры равных площадей.
а) Докажите, что AC || MN.
б) Найдите отношение площадей четырёхугольников ABCD и ABC О, где О — точка пересечения BD и MN.

Answer 1

1) $S_{ANM}=S_{AND}-S_{MND}$,
$S_{CMN}=S_{CMD}-S_{MND}$.
Но  $S_{AND}=S_{CMD}=frac{1}{2}S_{ABCD}$, поэтому $S_{ANM}=S_{CMN}$, а т.к. у них общее основание MN, то их высоты, опущенные на МN равны, и значит  AC||MN.
2) $S_{ABCO}=S_{ABC}+S_{ACO}$.
$S_{ACO}=S_{ACM}$ т.к. у них общее основание AC и равные высоты, т.к. по п.1 доказали, что AC||MN. Значит
$S_{ABCO}=S_{ABC}+S_{ACM}=S_{ABCM}=frac{1}{2}S_{ABCD}$. Т.е. искомое отношение площадей равно 2.

Answer 2

То, что площади AND=CMD тоже нужно отдельно доказывать

Answer 3

По условию же сказано, что площадь АND, также как и площадь СMD - обе равны половине площади ABCD, значит они равны между собой. Это у меня и написано в в третьей строчке.