Question

Решить систему:
X+y=пи/2
Cosx+cosy=1

Answer 1

$left { {{x+y=fracpi2} atop {cos x+cos y=1}} right. left { {{y=fracpi2-x} atop {cos x+cos (fracpi2-x)=1}} right.\ cos x+cos (fracpi2-x)=1;\ cos x+cos xcdotcosfracpi2+sin xcdotsinfracpi2=1;\ cosfracpi2=0; sinfracpi2=1\ cos x+cos xcdot0+sin xcdot1=1;\ cos x+sin x=1;$
введём вспомогательный угол $phi$, тогда получим:
$cos^2phi+sin^2phi=1$
видим, что сумме квадратов коэфициентов при тригонометрических функциях равна:
$1^{2} +1^{2} =2$
получаем
$left { {{sin^2phi+cos^2phi=1} atop {sinphi=cosphi}} right.\ 2sin^2phi=1;\ sinphi=cosphi=frac{1}{sqrt{2}} ;\ phi=fracpi4+pi k, kin Z;$
теперь можно найти х, и у

$cos x+sin x=1;\ frac{1}{sqrt{2}}cos x+frac{1}{sqrt{2}}sin x=frac{1}{sqrt{2}};\ 1)cosfracpi4cdotcos x+sinfracpi4cdotsin x=frac{1}{sqrt{2}};\ cos(x-fracpi4)=frac{1}{sqrt{2}};\ x-fracpi4=pmfracpi4+2pi n, nin Z;\ a)x-fracpi4=-fracpi4+2pi n;\ x=2pi n;\ y=fracpi2-2pi n;\ b)x-fracpi4=fracpi4+2pi k,\ x=fracpi2+2pi k;\ y=-2pi k$

имеем ответ
$left [ {{ left { {{x=2pi n,} atop {y=fracpi2-2pi n}} right. nin Z} atop { left { {{x=fracpi2+2pi k,} atop {y=-2pi k}} right. kin Z}} right.$


vj;но записать и по другому
$left [ {{x=2pi n; y=fracpi2-2pi n} atop {x=fracpi2+2pi k; y=-2pi k}} right. n,kin Z.$