Question

Первый, второй и пятый члены арифметической прогрессии представляют собой первые три члена геометрической прогрессии. Если к первым двум членам этой геометрической прогресии прибавить по 1, а от третьего отнять 3, то получатся первые три члена некоторой арифметической прогрессии.Найдите сумму первых ста членов исходной арифметической прогрессии.

Answer 1

Пусть первый, второй и пятый члены исходной арифметической прогрессии

а1 = х
а2 = x + d
а5 = x + 4d

Они же   -  это  первые три члена геометрической прогрессии:
b1 = x,  b2 = x + d,    b2 = x + 4d,
значит
$frac{x + d}{x} = frac{x + 4d}{x + d} \ (x + d)^{2} = x(x + 4d) \ x^{2} + 2xd + d^{2} = x^{2} +4xd \ d^{2} = 2xd \ d = 2x$  
$x = frac{d}{2}$
Из них получаем первые три члена другой арифметической прогрессии:

с1 = b1+1  = x +1,  
с2 = b2+1 = x + d +1,    
с3 = b2 - 3 = x + 4d - 3  
Тогда 
$(x + d +1) - (x +1) = (x + 4d - 3) - (x + d +1) \ x + d +1 - x - 1 = x + 4d - 3 - x - d - 1 \ d = 3d - 4 \ 2d = 4 \ d = 2$
Значит  а1 = х = d/2 = 2/2 = 1.

Тогда сумма первых ста членов исходной арифметической прогрессии равна:
$S_{100} = frac{2 a_{1}+99d }{2} *100 = frac{2 *1+99*2 }{2} *100 = (1+99)*100 = \ = 100*100 = 10000$

Ответ:  10000.