Question

Пользуясь определением,найдите производную функции f в точке x0
а)f(x)=x^2+1 x0=-2
б)f(x)=2/x x0=3
в)f(x)=2x-1 x0=-4
г)f(x)=x^3 x0=2

3.Продифференцируйте функцию
а)f(x)=(x+2)*sinx
б)f(x)=4/(9+7x)^5
в)f(x)=x^3-2/x+cos3x
г)f(x)=x^2/x+3

Answer 1

Ответ:

решение представлено на фото

Объяснение:

Answer 2

Определение производной функции через предел.

$displaystyle f'(x_0)= lim_{x to x_0}dfrac{зf(x)}{зx}=lim_{зx to0}dfrac{f(x_0+зx)-f(x_0)}{зx}=lim_{x to x_0}dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

a) $displaystyle f'(-2)=lim_{x to -2}dfrac{x^2+1-(x^2_0+1)}{x+2}=lim_{x to -2}dfrac{x^2+1-4-1}{x+2}=lim_{x to -2}dfrac{x^2-4}{x+2}=\ \ \ =lim_{x to -2}dfrac{(x-2)(x+2)}{x+2}=lim_{x to -2}(x-2)=-2-2=-4$

б) $displaystyle f'(3)=lim_{x to 3}dfrac{frac{2}{x}-frac{2}{x_0}}{x-3}=lim_{x to 3}frac{frac{2}{x}-frac{2}{3}}{x-3}=frac{2}{3}lim_{x to 3}frac{3-x}{x(x-3)}=frac{2}{3}lim_{x to 3}-frac{1}{x}=-frac{2}{9}$

в) $displaystyle f'(-4)=lim_{x to -4}frac{2x-1-(2x_0-1)}{x+4}=lim_{x to -4}frac{2x-1+8+1}{x+4}=\ \ \ =lim_{x to -4}frac{2x+8}{x+4}=lim_{x to -4}frac{2(x+4)}{x+4}=2$

г) $displaystyle f'(2)=lim_{x to 2}frac{x^3-x_0^3}{x-2}=lim_{x to 2}frac{x^3-8}{x-2}=lim_{x to 2}frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}=\ \ \ =lim_{x to 2}(x^2+2x+4)=2^2+2cdot 2+4=12$

3.

а) Продифференцируем функцию по формуле производной произведения: (uv)' = u' v + u v'

$f'(x)=(x+2)'sin x+(x+2)(sin x)'=sin x+(x+2)cos x$

б) $f'(x)=-dfrac{4cdot ((9+7x)^5)'}{(9+7x)^{10}}=-dfrac{4cdot 5(9+7x)^4cdot (9+7x)'}{(9+7x)^{10}}=\ \ =-dfrac{140}{(9+7x)^{6}}$

в) Аналогично по формуле производной частного

$f'(x)=dfrac{(x^3-2)'(x+cos 3x)-(x^3-2)(x+cos 3x)'}{(x+cos 3x)^2}=\ \\ =dfrac{3x^2(x+cos 3x)-(x^3-2)(1-3sin 3x)}{(x+cos 3x)^2}$

г) По формуле производной частного:

$f'(x)=dfrac{(x^2)'cdot (x+3)-x^2cdot (x+3)'}{(x+3)^2}=dfrac{2x(x+3)-x^2}{(x+3)^2}=dfrac{x^2+6x}{(x+3)^2}$