Question

Доказать теорему Вписанного угла!
Теорема :
Вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается

Answer 1

уже был ответ
93855501 хорошист ответила 04.05.2013Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.Это надо понимать так: вписанный угол содержит столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд содержится в половине дуги, на которую он опирается.При доказательстве этой теоремы надо рассмотреть три случая.Первый случай. Центр круга лежит на стороне вписанного угла (черт. 331).Пусть / АВС — вписанный угол и центр круга О лежит на стороне ВС. Требуется доказать, что он измеряется половиной дуги АС.Соединим точку А с центром круга. Получим равнобедренный / AОВ, в котором 
АО = ОВ, как радиусы одного и того же круга. Следовательно, / А = / В. / АОС является внешним по отношению к треугольнику АОВ, поэтому / АОС = / А + / В (§ 39, п. 2), а так как углы А и В  равны, то / В составляет 1/2  / АОС.Но / АОС измеряется дугой АС, следовательно, / В измеряется половиной дуги АС.Например, если АС содержит 60° 18', то / В содержит 30°9'.Второй случай. Центр круга лежит между сторонами вписанного угла (черт. 332).Пусть / АВD — вписанный угол. Центр круга О лежит между его сторонами. Требуется доказать, что / АВD измеряется половиной дуги АD.Для доказательства проведём диаметр ВС. Угол АВD разбился на два угла: / 1 и / 2./ 1 измеряется половиной дуги АС, а / 2 измеряется половиной дуги СD, следовательно, весь / АВD измеряется   1/2 АС + 1/2СD, т. е. половиной дуги АD. 
Например, если  АD содержит 124°, то / В содержит 62°.Третий случай. Центр круга лежит вне вписанного угла (черт. 333).Пусть / МАD — вписанный угол. Центр круга О находится вне угла. Требуется доказать, что / МАD измеряется половиной дуги МD.Для доказательства проведём диаметр АВ.  / МАD = / МАВ— / DАВ. Но / МАВ измеряется  1/2  МВ, а / DАВ измеряется   1/2 DВ. Следовательно,  / МАD измеряется
1/2 (МВ —  DВ),  т. е. 1/2 МD. 
Например, если МD содержит 48° 38'16", то / МАD содержит 24° 19' 8".Следствия. 1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги (черт. 334, а).