Question

Функции f(x), заданной на всей вещественной прямой, и
известно, что при любом a > 1 f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой.
Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой, срочно

Answer 1

1) сумма и разность непрерывных функций — непрерывные функции;2) g(x) — непрерывная функция, функция g(ax) также непрерывна
Запомним, что по условию непрерывны функции f(x) + f(2x) и f(x) + f(4x), а в силу свойства (2) вместе с функцией f(x) + f(2x) непрерывна и функция f(2x) + f(4x).
Далее, по свойству (1) непрерывна функция (f(x) + f(2x)) + (f(x) + f(4x)) – (f(2x) + f(4x)) = 2f(x), а, значит, и функция f(x).