Question

наименьшее общее кратное, d наибольший общий делитель натуральных чисел х и у, удовлетворяющих условию 7x=16y-73. Какое наименьшее значение может принимать выражение q деленное на d ?

Answer 1

Т.к. d=НОД(x,y), то x=du, y=dv, где u,v - уже взаимно простые натуральные числа. Тогда q=duv, и значит, q/d=uv. То есть нам надо минимизировать uv.
По условию: 16dv-7du=73. Выносим  d за скобки:
d(16v-7u)=73, т.е d - делитель числа 73, откуда возможно только d=1  или d=73 (т.к. 73 - простое).
1) Если d=1, то  16v-7u=73. Все натуральные решения этого уравнения задаются формулами u=1+16k, v=5+7k, k=0,1,2,...
Минимум uv достигается при k=0, т.е. uv=5. При этом x=u=1, y=v=5.
2) Если d=73, то  16v-7u=1. Все натуральные решения этого уравнения задаются формулами u=9+16k, v=4+7k, k=0,1,2,...
Минимум uv достигается при k=0, т.е. uv=4*9=36. При этом x=73*9, y=73*4.
Т.к. 5<36, то минимум q/d равен 5 и достигается при x=1, y=5.