Question

Определите, для каких правильных n-угольников сторона меньше диаметра вписанной окружности.Пожалуйста с решением.

Answer 1

Если соединить вершины правильного многоугольника с его центром, получим n равнобедренных треугольников, один из которых на рисунке.
Угол при вершине О равен 360°/n, значит α = 180°/n.
tg α = (a/2) / r
r = a / (2tgα), где r - радиус вписанной окружности, а ее диаметр
d = a / tgα
a < d
a < a / tgα
1 / tgα > 1
tgα < 1, ⇒ α < 45°
180°/n < 45°
(180° - 45°·n) / n < 0
(4 - n) / n < 0
n ∈ ( - ∞ ; 0) ∪ (4 ; + ∞)
Так как n - количество сторон многоугольника, n > 4.