Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями x^(1/2)+y^(1/2)=a^(1/2) и x+y=a

Answer 1

выразим y:

 x^(1/2)+y^(1/2)=a^(1/2)
y^(1/2) = a^(1/2) - x^(1/2)
y =  [a^(1/2) - x^(1/2)]^2 = a + x - 2(ax)^(1/2);

 

x+y=a

y = a - x

Найдем точки пересечения этих функций, приравняв их:

 a + x - 2(ax)^(1/2) = a - x

2x = 2(ax)^(1/2)

x = (ax)^(1/2)

x^2 = ax
x^2 - ax = 0

x(x - a) = 

x = 0 и x = a точки пересечения

Площадь фигуры - это интеграл, где точки пересечения - это пределы интегрирования

$intlimits^a_0 {(a+x-2sqrt{a}x})-(a-x) , dx =\ =intlimits^a_0 {(a+x-2sqrt{a}x}-a+x) , dx =\ =intlimits^a_0 {(2x-2sqrt{a}x}) , dx =\ =(2frac{x^{2}}{2}-2sqrt{a}frac{x^{2}}{2})|^{a}_{0}=\ =(x^{2}-sqrt{a}x^{2})^{a}_{0}=$ 

$(x^{2}-sqrt{a}x^{2})|^{a}_{0}=\ =x^{2}(1-sqrt{a})|^{a}_{0}=\ =a^{2}(1-sqrt{a})$