Question

Объясните решение уравнения cos2x=2sin^2x

Answer 1

 Формула двойного аргумента: cos2x = cos^2(x) - sin^2(x)

cos^2(x) - sin^2(x) = 2sin^2(x)

Из основного тригонометрического тождества: cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

1 - sin^2(x) - sin^2(x) = 2sin^2(x)

4sin^2(x) = 1

sin^2(x) = 1/4

не правильно извлекла корень, переделываю отсюда:

sinx = $^{+}_{-} frac{1}{2}$

Если sinx = $frac{1}{2}$ , то

x = П/6 + 2Пk и x = 5П/6 + 2Пk

Если sinx = $-<var>frac{1}{2}</var>$ , то

x = -П/6 + 2Пk и x = -5П/6 + 2Пk

Можно объединить решения:

x = $^{+}_{-}$П/6 + 2Пk и x = $^{+}_{-}$5П/6 + 2Пk

 

 

Answer 2

$cos2x = 2sin^{2}x$

 

левую часть раскладываем по формуле cos2x = 1 - 2sin^2x

 

$1 - 2sin^{2}x = 2sin^{2}x$

переносим

$4sin^{2}=1\ sin^{2} = frac{1}{4}$

убираем корень

$sinx = sqrt{frac{1}{4}}\ sinx = frac{1}{2}$

отбираем корни

общая формула

$x=(-1)^{n}*arcsin a + pi*n, ncup Z$

в нашем случае

$x=(-1)^{n}*frac{pi}{6} + pi*n, ncup Z$