Question

Найти первообразную F функции $f(x)= -3sqrt[3]{x}$, график которой проходит через точку А (0;$frac{3}{4}$)

Answer 1

Первообразная от функции $f(x)=x^n$ вычисляется по формуле $F(x)= intlimits {x^n} , dx = frac{x^{n+1}}{n+1} +C$, где С - произвольная константа.

Учитывая соотношения $intlimits {af(x)} , dx = aintlimits {f(x)} , dx$ и $sqrt[n]{x} =x^{ frac{1}{n} }$, получаем:

$intlimits {-3sqrt[3]{x} } dx=-3 intlimits {sqrt[3]{x} } dx=-3 intlimits {x^{ frac{1}{3} } } dx= \ =-3cdot frac{x^{ frac{1}{3}+1 }}{ frac{1}{3}+1 } +C= -3cdot frac{x^{ frac{4}{3} }}{ frac{4}{3} } +C= - frac{9}{4} x^{ frac{4}{3}}+C$

Подставляем координаты точки А:
$- frac{9}{4} cdot0^{ frac{4}{3}}+C= frac{3}{4} \ 0+C= frac{3}{4} \ C= frac{3}{4}$

Значит, искомая первообразная имеет вид $- frac{9}{4} x^{ frac{4}{3}}+ frac{3}{4}$