Question

1) решите уравнение: (2sin^2x-7sinx+3)*log по основанию 2 (x-8)=0
2)найдите все корни уравнения, принадлежащие данному промежутку (3пи; 6пи)

Answer 1

I.   (2sin²x - 7sinx + 3) · log₂ (x-8) = 0

ОДЗ :    x-8 > 0;   x > 8

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

1)  2sin²x - 7sinx + 3 = 0  - квадратное уравнение с неизвестным sinx

  D = 7² - 4·2·3 = 25 = 5²

  sin x = (7+5)/4 = 3  -  не подходит под условие  |sin x| ≤ 1

  sin x = (7-5)/4 = 1/2

  x₁ = π/6 + 2πn,  n∈N, n≥2   ( ОДЗ: π/6 + 4π ≈ 13,1 > 8)

  x₂ = 5π/6 + 2πk,  k∈N   ( ОДЗ:  5π/6 + 2π ≈ 8,9 > 8)

2) log₂ (x-8) = 0    ⇒   x - 8 = 2⁰

   x = 1 + 8;   x₃ = 9

==========================

II.    x ∈ (3π; 6π)

$1)~~3pi < x_1 < 6pi ~~Rightarrow~~3pi < dfrac{pi}6 +2pi n < 6pi \\~~~~~3pi -dfrac{pi}6< 2pi n < 6pi -dfrac{pi}6~~Leftrightarrow~~dfrac{17pi}6< 2pi n < dfrac{35pi}6\\~~~~~dfrac{17}{12}<n < dfrac{35}{12}~~Leftrightarrow~~1dfrac{5}{12}<n < 2dfrac{11}{12}\\n=2; ~~x_1=dfrac{pi}6 +4pi=4dfrac 16pi$

$2)~~3pi < x_2 < 6pi ~~Rightarrow~~3pi < dfrac{5pi}6 +2pi k < 6pi \\~~~~~3pi -dfrac{5pi}6< 2pi k < 6pi -dfrac{5pi}6~~Leftrightarrow~~dfrac{13pi}6< 2pi k < dfrac{31pi}6\\~~~~~dfrac{13}{12}<k < dfrac{31}{12}~~Leftrightarrow~~1dfrac{1}{12}<k < 2dfrac{7}{12}\\k=2; ~~x_2=dfrac{5pi}6 +4pi=4dfrac 56pi$

3) x₃ = 9  <  9,4 ≈ 3π   -   не входит в интервал

Ответ: $4dfrac 16pi$;   $4dfrac 56pi$