Question

Решите дробные уравнения, если можно то с объяснением:

$frac{2}{x-2} - frac{10}{x+3} = frac{50}{x^{2}+x-6} -1$

$frac{x+5} { x-1 } +frac { 2x-5} { x-7 }- frac { 30-12x } {8x- x^{2} - 7} =0$

Answer 1

$frac{2}{x-2}-frac{10}{x+3}=frac{50}{x^2+x-6}-1,$

Переносим все в левую часть, чтобы в правой части был 0.

$frac{2}{x-2}-frac{10}{x+3}-frac{50}{x^2+x-6}+1=0,$

Разлаживаем треччлен x^2+x-6 на простые множители.

$x^2+x-6=0,$

По теореме обратной к теореме Виета:

$x_1=-3, x_2=2. \ x^2+x-6=1cdot(x+3)(x-2)=(x+3)(x-2)$

$frac{2}{x-2}-frac{10}{x+3}-frac{50}{(x+3)(x-2)}+1=0,$

Приводим к общему знаменателю.

$frac{2^{(x+3}}{x-2}-frac{10^{(x-2}}{x+3}-frac{50}{(x+3)(x-2)}+1^{((x+3)(x-2)}=0, \ frac{2(x+3)-10(x-2)-50+(x+3)(x-2)}{(x+3)(x-2)}=0, \ frac{2x+6-10x+20-50+x^2+x-6}{(x+3)(x-2)}=0, \ frac{x^2-7x-30}{(x+3)(x-2)}=0,$

Знаменатель не может быть равен 0, т.к. на 0 делить нельзя.

$(x+3)(x-2)neq0, \ left { {{x+3neq0,} atop {x-2neq0,}} right. \ left { {{xneq-3,} atop {xneq2.} right.$

$x^2-7x-30=0,$

По теореме обратной к теореме Виета:

$x_1=-3, x_2=10.$

x1=-3 не подходит, т.к. при этом значении знаменатель равен 0.

x=10.

 

$frac{x+5}{x-1}+frac{2x-5}{x-7}-frac{30-12x}{8x-x^2-7}=0, \ 8x-x^2-7=0, \ x^2-8x+7=0, \ x_1=1, x_2=7, \ 8x-x^2-7=-1cdot(x-1)(x-7)=-(x-1)(x-7), \ frac{x+5}{x-1}+frac{2x-5}{x-7}+frac{30-12x}{(x-1)(x-7)}=0, \ frac{(x+5)(x-7)+(2x-5)(x-1)+(30-12x)}{(x-1)(x-7)}=0, \ frac{3x^2-21x}{(x-1)(x-7)}=0, \ (x-1)(x-7)neq0, \ left { {{xneq1,} atop {xneq7;}} right. \ 3x^2-21x=0, \ 3x(x-7)=0, \ 3x=0, x-7=0, \ x_1=0, x_2=7; \ \ x=0.$