Question

log54(168)=?
если log7(12)=a
log12(24)=b

Answer 1

  
 $log_{7}12=a\ log_{12}24=b\\ log_{54}168=log_{54}12+log_{54}7+log_{54}2=$ 
 преобразуем ее к виду 
$frac{1}{log_{12}2+3log_{12}3}+frac{1}{log_{7}2+3log_{7}3}+frac{1}{1+3log_{2}3}$
  
теперь найдем каждое слагаемое  
 $log_{12}24=b\ log_{7}12=a\\ log_{12}24=log_{12}12+log_{12}2=b\ 1+log_{12}2=b\ log_{12}2=b-1\\ log_{12}24=log_{12}8+log_{12}3=3*log_{12}2+log_{12}3=b\ 3(b-1)+log_{12}3=b\ log_{12}3=3-2b\\ log_{54 }12 = frac{1}{b-1+3(3-2b)} =frac{1}{8-5b}$

$log_{7}2\ log_{7}3$ найдем эти слагаемые 
 заметим что 
 $log_{7}12 = frac{1}{log_{12}7}=a\ log_{12}24=b\ ab=frac{log_{12}24}{log_{12}7} = log_{7}24=log_{7}3+3log_{7}2=ab\\ log_{7}12=log_{7}3+2log_{7}2=a$ 
 то есть можно решить      систему 
 $log_{7}24=log_{7}3+3log_{7}2=ab\\ log_{7}12=log_{7}3+2log_{7}2=a\\ x+3y=ab\ x+2y=a\\ y=ab-a\ x=3a-2ab\\ log_{54}7 = frac{1}{8a-5ab}$

 $log_{2}3\ log_{12}24 = 1+log_{12}2 = 1+frac{1}{2+log_{2}3}=b \ log_{2}3 = frac{3-2b}{b-1}\ log_{54}2 = frac{1}{1+3*frac{3-2b}{b-1}}\\ log_{54}168 = frac{1}{8-5b}+frac{1}{a(8-5b)} + frac{b-1}{8-5b} = frac{a+a(b-1)+1}{a(8-5b)} = \ frac{ab+1}{8a-5ab}$