Question

Построить график функции (с использованием производной)

Answer 1

Для построения графика нужны координаты точек, а не производная.
Производная, равная 0, нужна для определения критических точек.
f = x - (x³ / 3)
f' = 1 -(3x²/3) = 1 - x² = 0
x² = 1
x = +-√1
x₁ = 1       y₁ = 1-1/3 = 2/3 = 0,6667
x₂ = -1      y₂ = -1-(-1/3) -1+1/3 = -0,6667
Точки пересечения с осью координат XГрафик функции пересекает ось X при f = 0значит надо решить уравнение: 3 -x x + ---- = 0 3 Точки пересечения с осью X:Аналитическое решениеx1 = 0 ___ x2 = -/ 3 ___ x3 = / 3 Численное решениеx1 = 0x2 = 1.73205080757Точки пересечения с осью координат YГрафик пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в x + (-x^3)/3. 3 -0 ---- 3 Результат:f(0) = 0Точка:(0, 0)График функции01234-3-2-1051015-20-15-10-5f = x + (-x^3)/3Точки перегибовНайдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение 2 d ---(f(x)) = 0 2 dx (вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, 2 d ---(f(x)) = 2 dx -2*x = 0Решаем это уравнениеКорни этого ур-нияx1 = 0Интервалы выпуклости и вогнутости:Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:Вогнутая на промежутках(-oo, 0]Выпуклая на промежутках[0, oo)Горизонтальные асимптотыГоризонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo 3 -x lim x + ---- = oo x->-oo 3 значит,горизонтальной асимптоты слева не существует 3 -x lim x + ---- = -oo x->oo 3 значит,горизонтальной асимптоты справа не существуетНаклонные асимптотыНаклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + (-x^3)/3, делённой на x при x->+oo и x->-oo 3 -x x + ---- 3 lim -------- = -oo x->-oo x значит,наклонной асимптоты слева не существует 3 -x x + ---- 3 lim -------- = -oo x->oo x значит,наклонной асимптоты справа не существуетЧётность и нечётность функцииПроверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).Итак, проверяем: 3 3 -x x x + ---- = -x + -- 1 3 3 - Нет 3 3 -x x x + ---- = --x - -- 1 3 3 - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной
Вот данные для построения графика:
х                     -4   -3      -2 -1.73    -1 -0.5 0  0.5        1        2      3     4
у=х-(x^3/3) 17.33 6 0.667 0 -0.67 -0.46 0 0.458 0.667 -0.67 -6 -17.3
Расположить цифры попарно - это координаты точек графика.