Question

Докажите , что верно при n=m+1
$1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)= frac{n(n+1)(2n+1)}{3}$

Answer 1

Проверим при n=1 $2= frac{2cdot 3}{3} \ 2=2$следовательно, истинно 
Следует проверить что при n+1, также  будет истинно

$n(n+1)+(n+1)(n+2)= frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} \ 1cdot2+2cdot3+....+n(n+1)+(n+1)(n+2)= \ = frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} +(n+1)(n+2)=(n+1)(n+2)( frac{n}{3} +1)= frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$

Следовательно, исходное равенство имеет место для любого натурального n.