Question

найдите сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7 и не делятся на 13

Answer 1

Рассмотрим две последовательности:

1) Последовательность трехзначных чисел, делящихся на 7:

105; 112; .... ; 994

Эта последовательность является арифметической прогрессии с первым членом 105 и разность прогрессии 7.

$a_n=a_1+(n-1)d\ 994=105+7(n-1)~~|:7\142=15+n-1\ n=128$

Получили, что всего 128 трехзначных чисел, кратных 7.

Сумма этих чисел: $S_{128}=dfrac{a_1+a_{128}}{2}cdot128=64cdot(105+994)=70336$

2) В последовательности трехзначных чисел,делящихся на 7 есть те числа которые делятся и на 13, значит их нужно исключить, поэтому рассмотрим последовательность трехзначных чисел, делящихся на 7 и на 13.

182; 273; ... ; 910 — арифметическая прогрессия с первым членом 182 и разностью прогрессии d=91.

$910=182+91(n-1)~~|:91\ 10=2+n-1\ n=9$

Всего 9 трехзначных чисел, которые делятся на 7 и на 13 одновременно.

$S_{9}=dfrac{a_1+a_9}{2}cdot9=dfrac{182+910}{2}cdot9=4914$

Искомая сумма: $S_{128}-S_9=70336-4914=65422$