Question

Объясните смысл следующих выражений: к счастью, на счастье, по счастью.

Answer 1

к счастью - вводное слово, которое выражает удовлетворение чем-то, например:
К счастью, меня никто не заметил, и я на цыпочках прокрался в комнату.

на счастье - значит, на удачу, на успех; может выступать в роли вводного слова
"Вот тебе оберег на счастье," - приговаривала бабушка, надевая на меня какую-то маленькую подвеску на шёлковой нитке.
Мы оглянулись и поняли, что, на счастье, вышли к просёлочной дороге, и вдали уже светились окна ближайшего села.

по счастью - вводное слово в значении выражения радости
Драки, по счастью, не случилось, все окончательно рассорились, но разошлись мирно.