Question

Найти многочлен f(x) минимальной степени,который в точках:

$x_1=4;x_2=3;x_3=2;x_4=1;x_5=-1$

принимает значения:

$f_1=27;f_2=18;f_3=11;f_4=6;f_5=2$

Решение обязательно.

Answer 1

f(x+1)-f(x)=2x+1;

f(x)=x^2+a+2x+1

f(x)=x^2+2x+3

 

Точек пять, значит минимальный многочлен, который задается этими точками четвертой (5-1=4)степени

Будем его искать в следующем виде

$P(x)=C_1+C_2(x-x_1)+C_3(x-x_1)(x-x_2)+C_4(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)+C_5(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4);$

$P(4)=27;\ C_0=27;$

$P(3)=18=27+c_2(3-4)=27-c_2;\ c_2=frac{18-27}{3-4}=9;$

$P(2)=11=27+9*(2-4)+c_3(2-3)*(2-4);\ C_3=frac{11-9}{1*2}=1;$

$P(1)=6=27-9*(1-3)+(1-3)*(1-2)+c_4*(1-3)*(1-2)*(1-1);\ C_4=-frac{6-47}{1*2*3}=-frac{41}{6};$

$P(-1)=2=27+9*(-1-3)+(-1-3)*(-1-2)<var>-frac{41}{6}</var>*(-1-3)*(-1-2)*(-1-1)+\ c_5*(-1-3)*(-1-2)*(-1-1)*(-1-4);\ c_5=frac{2-113}{4*3*2*5}=-frac{37}{40};$

 

окончательно

$P(x)=27+9(x-4)+(x-4)(x-3)-frac{41}{6}(x-4)(x-3)(x-2)-frac{37}{40}(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)$