Question

Найдите x+y+z, если (x^2+1)(y^2+5)+2x(2y+2+yz)+z^2=1

Answer 1

Школьными методами не знаю как решить, а нешкольными вот:
Функция $f(x,y,z)=(x^2+1)(y^2+5)+2x(2y+2+yz)+z^2$ имеет минимум равный 1 в единственной точке x=-2, y=4, z=8.
Чтобы это доказать, находим частные производные f по x,y,z и решаем систему:
$2,{y}^{2}x+2,yz+10,x+4,y+4 =0;\ 2,{x}^{2}y+2,xz+4,x+2,y =0;\ 2,xy+2,z=0.$
Из последнего уравнения выражаем z=-xy, подставляем в первые и получаем единственную стационарную точку x=-2, y=4, z=8. Чтобы доказать, что в ней именно минимум, составляем матрицу из вторых производных:

$left[ begin {array}{ccc} 2,{y}^{2}+10&4,xy+2,z+4&2,y \ noalign{medskip}4,xy+2,z+4&2,{x}^{2}+2&2,x \ noalign{medskip}2,y&2,x&2end {array} right]$,
которая при x=-2, y=4, z=8 является положительно определенной, т.к. все главные миноры положительны. Значит f(x,y,z) может равняться 1 только при  x=-2, y=4, z=8. Поэтому x+y+z=10.

Answer 2

есть один метод школьный можно назвать , если интересно http://znanija.com/task/10386768