Question

Вычислите угол между прямыми АВ и СD, если А (1;1;0), В (3;-1;0), С (4;-1;2), D(0;1;0)
Ответы: 45 градусов, 60 градусов, 30 градусов, 90 градусов

Answer 1

назначим угол между прямыми АВ и СD  α

$cos alpha = frac{ x_{1}* x_{2}+ y_{1}* y_{2} + z_{1} *z_{2} }{ sqrt{x_{1} ^{2}+ y_{1} ^{2} + z_{1} ^{2} } * sqrt{x_{2} ^{2}+ y_{2} ^{2} + z_{2} ^{2} } }$

AB (3-1; -1-1; 0-0)  ⇒ AB (2;-2;0)
CD (0-4; 1-(-1); 0-2)   ⇒ CD(-4; 2; -2)
$cos alpha = frac{2*(-4)+(-2)*2+0*(-2)}{ sqrt{4+4}* sqrt{16+4+4} } = frac{-8-4}{ sqrt{8}* sqrt{24} } = frac{-12}{ sqrt{192} }$ =$frac{-12}{ sqrt{3* 8^{2} } } = frac{-12}{8 sqrt{3} } = frac{-3}{2 sqrt{3} } = frac{-3 sqrt{3} }{2*3} = -frac{ sqrt{3} }{2}$
⇒  $alpha =arcsin(- frac{ sqrt{3} }{2} )= frac{ 7pi }{3}$