Question

разложите на множители 9^n-25^n
докажите что число n^3-n делится на 6

Answer 1

1)  9^n - 25^n = 3^(2n) - 5^(2n) = (3^n - 5^n)(3^n + 5^n)
2)  докажите, что число n³ - n делится на 6
Решение
при n = 2,  имеем 8 - 2 = 6 утверждение верно.
Полагаем, что оно верно при n = m.
Покажем, что оно выполняется и при n = m + 1
(m+1)² - (m+1)=m³ - m + 3m² + 3m
Первые два слагаемых делятся на 6 по предположению,
вторые делятся на 3, но m(m+1) число четное, т.к. четным является
либо m либо  m+1, следовательно два вторых слагаемых тоже делятся на 6,  а значит и вся сумма делится на 6. утверждение доказано