Question

решите уравнение:$\frac{2x-5}{x}- \frac{x}{2x-5}=0$ способом замены переменной.И найти целый корень.

Answer 1

$\frac{2x-5}{x}-\frac{x}{2x-5}=0$
Область допускаемых значений (ОДЗ) для x:  $x\ne0\\2x-5\ne0,\ x\ne\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}.\ (*)$

Пусть $2x-5=t, x=\frac{t+5}{2}$ тогда:

$\frac{t}{\frac{t+5}{2}}-\frac{\frac{t+5}{2}}{t}=0,\\\\\frac{2t}{t+5}-\frac{t+5}{2t}=0,\\\\\frac{2t}{t+5}=\frac{t+5}{2t}$

ОДЗ для t: $t\ne0,\\t-5\ne0,\ t\ne5.\ (**)$

$2t\bullet2t=(t+5)(t+5),\\4t^2=t^2+10t+25,\\3t^2-10t-25=0\\D=100-4\bullet(-25)\bullet3=400,\\\\t_1=\frac{10+\sqrt{400}}{6}=5,\ t_2=\frac{10-\sqrt{400}}{6}=-\frac{5}{3}=-1\frac{2}{3}.$

$t_1$ не удовлетворяет ОДЗ для $t\ (**)$,

$x=\frac{-\frac{5}{3}+5}{2}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$ удоволетворяет ОДЗ для $x\ (*)$

Ответ: $x=1\frac{2}{3}.$