Question

Высота треугольника делит угол в отношении 2:1, а сторону треугольника в отношение 3:1. Найдите углы этого треугольника. Помогите пожалуйста решить эту задачу.

Answer 1

 
 Положим что углы были равны $x;2x$  , то против большого угла лежит   большая сторона $y;3y$  
 Из прямоугольных треугольников получаем 
  $\frac{3*y}{sin2x}=AB\\ \frac{y}{sinx}=BC$
 
 Получим  по теореме косинусов 
$\frac{9y^2}{sin^2(2x)} + \frac{y^2}{sin^2x}-\frac{6y^2}{sin2x*sinx}*cos3x=16y^2\\ \frac{9}{sin^22x} + \frac{1}{sin^2x} - \frac{6}{sin2x*sinx}*cos3x = 16$
которая приводится к 
 $(2cos2x-1)*\frac{2sin2x}{ cos4x-1}=0\\ cos2x=\frac{1}{2}$ 
 откуда 
 
 $x=\pi\*n-\frac{5\pi}{6}\\ x=\pi\*n-\frac{\pi}{6}\\ x=\frac{\pi}{6}\\ x=\frac{5\pi}{6}$ 
  
 то есть углы равны $\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{6} ; \frac{\pi}{3}$