Предмет: Геометрия, автор: aleksonspore

В равнобедренный треугольник ABC (AB=BC) вписана окружность. Через точку M, лежащую на стороне AB, проведена касательная к окружности, пересекающая прямую AC в точке N. Найти боковую сторону треугольника ABC, если AC=CN=a, MB=1/8AB.

Приложения:

Ответы

Автор ответа: Матов
0
Продолжим сторону  BC в два раза , тогда получим параллелограмм ABNC'  точка CC'=b ,  заметим теперь что треугольники  MBO; C'ON O  точка пересечения NM с BC 
Откуда BO=frac{OC}{8}\
MO=frac{ON}{8} 
Так как касательные проведенные с одной точки равны , то так как AC основание данного треугольника , то  точка касания окружности основанием симметрична , то есть frac{a}{2} 
Если AF   F  точка касания с  окружностью , стороны  AB   AF=frac{a}{2}
AB=b\
 AM=b-frac{b}{8}=frac{7b}{8}\
    FM=frac{7b}{8}-frac{a}{2}=frac{7b-4a}{8}
Если E   - точка пересечения MN с окружностью   
ME=FM=frac{7b-4a}{8} 
NE=a+frac{a}{2}=frac{3a}{2} ,  по той же причине 
OE=MO-ME=MO-frac{7b-4a}{8}\
 
с другой стороны
OE=frac{3a}{2}-ON\
MO-frac{7b-4a}{8}=frac{3a}{2}-ON\
 MO=frac{ON}{8}\
\
MN=frac{7b+8a}{8}
Теперь заметим что окружность вписана   в треугольники 
AMN;ABC 
Положим что угол  BAC=x\
S_{AMN}=frac{7b*a*sinx *frac{1}{8}}{frac{7b+8a}{16}+frac{7b}{16}+a}  \
S_{ABC}=frac{ab*sinx*0.5}{2b+a}\\
По формуле r=frac{S}{p} 
подставляя получим 
ab(7b-5a)=0\ 
 b=frac{5a}{7}  
это ответ   frac{5a}{7}


Похожие вопросы
Предмет: Алгебра, автор: mashenkamarche