Question

Докажите, что при любом целом неотрицательном n выражение 7 * 5(в степени 2n) + 12 * 6(в степени n) делится на 19.

Answer 1

1)Рассмотрим случай n=0:

$7*5^0+12*6^0=7+12=19$

Делится на 19

2)Рассмотрим случай натуральных степеней:

$7*5^{2n}+12*6^n=7*(5^2)^n+12*6^n=7*((2+3)^2)^n+12*6^n=7*(2^2+2*2*3+3^2)^n+12*(2*3)^n=7*(19+2*3)^n+12*(2*3)^n=7*(19^n*(2*3)^{0}+n*19^{n-1}*(2*3)+frac{n(n-1)}{2}*19^{n-2}*(2*3)^{2}+.......+frac{n(n-1)}{2}*19^{2}*(2*3)^{n-2}+n*19^{1}*(2*3)^{n-1})+7*(2*3)^n+12*(2*3)^n=7*(19^n*(2*3)^{0}+n*19^{n-1}*(2*3)+frac{n(n-1)}{2}*19^{n-2}*(2*3)^{2}+.......+frac{n(n-1)}{2}*19^{2}*(2*3)^{n-2}+n*19^{1}*(2*3)^{n-1})+19*(2*3)^n$

Каждое слагаемое под скобкой имеет множитель 19 в натуральной степени и значит делится нацело на 19,слагаемое вне скобок также имеет множитель 19 и делится нацело на 19,соответственно и сумма делящихся на 19 слагаемых также делится на 19.