Question

Задача на максимум и минимум :

 

Число 54 представьте в виде суммы трех положительных чисел так,чтобы отношение первого числа ко второму было равно 3:1, а произведение всех трех чисел была НАИБОЛЬШИМ.

Answer 1

Пусть первое число равно 3а,тогда второе равно а,третье число равно b

Тогда имеет место система:

$<span>left { {{4a+b=54} atop {3a^2b=max}} right$

$b=54-4a$

$3a^2(54-4a)=-12a^3+162a^2$

По условию функция вида $f(x)=-12a^3+162a^2$

Должна принимать максимальное значение на области определения:

$a in (0;54)$

Рассмотрим эту функцию:

$f(x)=-12a^3+162a^2=12a^2(-a+13,5)$

Очевидно,что она принмает положительные значения на интервале:

$a in (0;13,5)$

В точке,где функция принимает максимальное значения касательная к функции есть константа вида $f_{kas}=C,C=const$

То есть тангенс угла наклона касательной равен нулю:

$tgalpha=f'(a_0)=-36a_{0}^2+324a_0=0$

$a_0$ точка касания

$a_0_1=0;a_0_2=9$

Первая точка не подходит по условию задачи,значит

а=9,3a=27,b=54-4*9=18