Question

найдите площадь треугольника, образованного пересечением прямых y=3x-1 ;у=2х+5; y=11x+23

Answer 1

Решаем чисто аналитически:

Сначала найдем точки пересечения прямых (каждой с каждой), получим 3 точки, являющиеся вершинами треугольника.

$y_1=3x-1; y_2=2x+5; y_3=11x+23;$

$y_1=y_2: 3x-1=2x+5; x=6; y=3cdot6-1=17; (6;17)$ пусть это будет точка А.

$y_1=y_3: 3x-1=11x+23; 8x=-24; x=-3; y=3cdot(-3)-1=-10; (-3;-10)$ пусть это будет точка В.

$y_2=y_3: 2x+5=11x+23; 9x=-18; x=-2; y=2cdot(-2)+5=1; (-2;1)$ пусть это будет точка С.

Итак, нашли координаты вершин треугольника.

Теперь вычислим расстояния между точками (от каждой до каждой)

Напомню, что расстояние между точками $(x_1;y_1); (x_2; y_2)$

считается по формуле $l = sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

$|AB|=sqrt{(-3-6)^2+(-10-17)^2}=sqrt{(-9)^2+(-27)^2} = \  =sqrt{9^2(1^2+3^2)}=9sqrt{10}$

$|AC|=sqrt{(-2-6)^2+(1-17)^2}=sqrt{(-8)^2+(-16)^2}=sqrt{8^2(1^2+2^2)}=\    =8sqrt{5}$

$|BC|=sqrt{(-2-(-3))^2+(1-(-10))^2} =sqrt{1^2+11^2}=sqrt{122}$

Известны длины всех сторон. По формуле Герона мы можем вычислить площадь. Но очень неприятно возиться с корнями, поэтому найдем лучше найти высоту треугольника, например, проведенной к основанию AC. Для этого надо вычислить коэффициенты уравнения прямой, содержащей эту высоту. Это можно сделать, исходя из того факта, что прямые BH (BH - высота к AC) и AC перпендикулярны, а значит, произведение их угловых коэффициентов равно -1.

Тогда уравнение прямой, перпендикулярной AC и проходящей через точку B, имеет вид

$y=-frac{1}{k_{AC}}(x-x_1)+y_1 ; B(x_1;y_1);$

Надо понять, какое уравнение содержит точки A и C. Подставив в каждое координаты точек A и C, поймем, что это второе уравнение

$y=2x+5$

А учитывая, что B(-3;-10), получаем уравнение прямой, содержащей высоту к AC.

$y=-frac{1}{2}(x+3)-10; y=-frac{1}{2}x-frac{3}{2}-10; boxed{y=-frac{1}{2}x-frac{23}{2}  }$

Теперь найдем координаты точки H - это пересечение прямой, содержащей высоту и прямой, содержащей точки A и C.

То есть

$-frac{1}{2}x-frac{23}{2}=2x+5; -x-23=4x+10; 5x=-33; x=-frac{33}{5};$

$y=2cdot (frac{-33}{5})+5=frac{-66+25}{5}=-frac{41}{5};  (frac{-33}{5}; -frac{41}{5})$

Вычислим длину высоты:

$|h|=sqrt{(-3+frac{33}{5} )^2+(-10+frac{41}{5} )^2} =sqrt{(frac{18}{5} )^2+(-frac{9}{5} )^2} =sqrt{frac{18^2+9^2}{5^2} } =$

$=frac{9sqrt{5} }{5}$

Площадь треугольника равна половине произведения основанию на высоту, проведенную к этому основанию. Считаем:

$S=frac{1}{2}ACcdot BH=frac{1}{2} cdot 8sqrt{5}cdot frac{9sqrt{5} }{5}=frac{72sqrt{25} }{10}=frac{72cdot 5cdot }{10}=36$

Ответ: $boxed{S=36}$

Answer 2

Найдем вершины треугольника. Пусть точки А, В, С будут точками пересечения прямых y=3x-1 ;у=2х+5; y=11x+23.

3x-1 =2х+5; отсюда х=6, у=3*6-1=17 .   А(6;17)

2х+5=11x+23. отсюда 9х=-18;х=-2, у = 1.  В(-2;1)

3x-1 =11x+23. отсюда 8х=-24; х=-3, у=-9-1=-10.  С(-3;-10). Найдем площадь , используя векторный метод.

Продолжение см. в файле.