Question

Решите уравнение.
|cosx+sinx|=sqrt(2)*sin2x 

Помогите пожалуйста!

Answer 1

Правая часть уравнения должна быть неотрицательной:

$sin2x geq 0$

$2pi k leq 2x leq pi+2pi k;k in Z$

$pi k leq x leq frac{pi}{2}+pi k;k in Z$

То есть первая и третья четверти,где синус и косинус одного знака.

Очевидно,что модуль их суммы будет больше единицы всегда(неравенство треугольника,где в качестве третьей стороны выступает радиус единичной окружности)

Рассмотрим выражение под модулем:

$cosx+sinx$

Попробуем найти максимум такой функции

$cos^2x+sin^2x=1$

$cos^2x+2sinxcosx+sin^2x=1+2sinxcosx$

$(cosx+sinx)^2=1+sin2x$

Очевидно,что левая часть принимает наибольшее значение,когда таковое принимает правая.

Правая часть принимает наибольшее значение при

$sin2x=1$

$x=frac{pi}{4}+pi k,k in Z$

$max|cosx+sinx|=sqrt{2}$

$max(sqrt{2}sin2x})=sqrt{2}$

Разделим обе части уравнения на $sqrt{2}$

$|frac{sqrt{2}}{2}cosx+frac{sqrt{2}}{2}sinx|=sin2x$

$|sin(x+frac{pi}{4})|=sin2x$

Очевидно,что синус в первой четверти(для третьей аналогично,так как модуль) больше тогда,когда больше аргумент.

Рассмотрим аргументы обоих синусов на полуинтервале:

$x in [0;frac{pi}{4})$

$x+frac{pi}{4}>x+x$

Значит:$|sin(x+frac{pi}{4})|>sin2x$

Рассмотрим аргументы обоих синусов на полуинтервале:

На этом промежутке происходит переход во вторую четверть,где с точностью до наоборот синус большего аргумента имеет меньшее значение.

$x in (frac{pi}{4};frac{pi}{2}]$

$x+frac{pi}{4}<x+x$

Значит:$|sin(x+frac{pi}{4})|>sin2x$

Очевидно,что единственным решением уравнения является:

$x=frac{pi}{4}+pi k,k in Z$