Question

В треугольнике ABC AB=BC. На медиане BE отмечена точка M, а на сторонах AB и BC- точки P и K соответственно. (Точки P, M и K не лежат на одной прямой.) Известно, что угол BMP =угол BMK. Докажите, что:

а) углы BPM и BKM равны;

б) прямые PK и BM взаимно перпендикулярны

Answer 1

а) так как угол ВМР=ВМК, и АВ=ВС, тогда ВР=ВК. так как РВ=ВК, то точка М делит ВЕ пополам в отношении 1:2. из этого следует что угол РМВ=МКВ, а так как эти угла равны тогда и ВРМ=ВКМ. доказано

б) в треугольнике АВС, ВЕ медиана, высота и бессектриса. АЕ=ЕС, АВ=ВС, РК=1/2АЕ,  тогда РК это серединный перпендикуляр проведённый к ВС, из этого следует что ВЕ перпендикулярно РК